Vaje: statistika in verjetnost

2022-11-11

Naloga 1

Collatzovo zaporedje števila a je definirano takole:
    (Subscript[c, 0])=a,
    (Subscript[c, n])=((Subscript[c, n-1])/2), če je (Subscript[c, n-1]) sod,
    (Subscript[c, n])=3(Subscript[c, n-1])+1, če je (Subscript[c, n-1]) lih.
Collatzovo zaporedje števila 8 je torej 8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…, Collatzovo zaporedje števila 9 pa 9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…
Opazimo: če v Collatzovem zaporedju naletimo na člen 1, se začnejo členi 4,2,1 ponavljati, in od tam naprej zaporedje ni več zanimivo.

Sestavite funkcijo NaslednjiČlen, ki pri danem argumentu poišče naslednji člen v Collatzovem zaporedju.

Sestavite funkcijo Collatz, ki vrne začetni del Collatzovega zaporedja danega števila do vključno prvega člena z vrednostjo 1.

Za a=1,2,…,50 tabelirajte dolžino začetnega dela Collatzovega zaporedja števila a in rezultate prikažite s stolpčnim diagramom. Kolikšna je največja dolžina, ki jo dobite? Pri katerih številih a je dosežena?

Uporabni ukazi: If, EvenQ, NestWhileList, Length, BarChart, Max, Position

Naloga 2

Če naključno izberemo točko v kvadratu [-1,1]×[-1,1], je verjetnost, da točka leži v enotskem krogu s središčem v izhodišču, enaka (π/4). To nam omogoča, da s pomočjo naključja ocenimo vrednost števila π.
Sestavite funkcijo PribližekPi[n_], ki naključno izbere n točk v omenjenem kvadratu in na osnovi tega vrne približek za π. Izbiro približkov ponazorite tudi s sliko. Prav tako ponazorite, za koliko približki odstopajo od dejanske vrednosti π v odvisnosti od n.

Uporabni ukazi: RandomReal, Count, Norm, Graphics, Line, Circle, Point, ListLinePlot

Naloga 3

Simulirajte 10 metov kocke. To naredite tako, da izpišete seznam desetih naključnih naravnih števil med 1 in 6.

Simulirajte 1000 metov kocke. Rezultatov tokrat ne izpišite, pač pa narišite histogram, ki ponazori, kolikokrat je padla katera vrednost.

Simulirajte 10 metov dveh kock. To naredite tako, da izpišete seznam desetih parov naključnih naravnih števil med 1 in 6.

Simulirajte 10000 metov dveh kock (brez izpisa) in empirično ocenite verjetnost, da je vsota pik pri metu dveh kock manjša ali enaka 5. Dobljeni rezultat primerjajte s teoretično verjetnostjo tega dogodka.

S histogramom ponazorite vsoto pik pri 10000 metih n kock v odvisnosti od števila n.

Uporabni ukazi: RandomInteger, Histogram, Count, Total