% Tokrat bomo uporabili amsart, format za clanke American Mathematical Society
\documentclass{amsart}

% Kodranje in podpora slovenščini
\usepackage[T1]{fontenc}        % kodiranje znakov v .pdf
\usepackage[utf8]{inputenc}     % kodiranje znakov v .tex
\usepackage[slovene]{babel}     % nastavimo slovenščino

\usepackage{concrete}           % pisave po okusu Donalda Knutha

% Ta paket potrebujemo, ker amsart spreminja male črke v velike v naslovu,
% in tega ne zna pravilno delati s šumniki. Paket textcase ta problem odpravi.
% Glej: https://tex.stackexchange.com/questions/211305/problem-with-greek-title
\usepackage{textcase}

% Paketi za matematiko

\usepackage{amsmath}  % razna okolja za poravnane enačbe ipd.
\usepackage{amsthm}   % definicije okolij za izreke, definicije, ...
\usepackage{amssymb}  % dodatni matematični simboli
\usepackage{xypic}    % paket za diagrame

% Definicija okolij izrek, posledica
{\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{izrek}{Izrek}[section]
\newtheorem{posledica}[izrek]{Posledica}
}

% Definicija okoli za definicije in vaje
{\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicija}[izrek]{Definicija}
\newtheorem{vaja}[izrek]{Vaja}
}

% \title[kratek naslov]{poln naslov}
\title[Matematika v {\LaTeX}u]{Kako v {\LaTeX}u pišemo matematične simbole, enačbe in diagrame}

% Podatki o avtorjih
\author{Andrej Bauer}
\address{Andrej Bauer\\
Fakulteta za matematiko in fiziko\\
Jadranska 19\\
1000 Ljubljana\\
Slovenija}
\email{Andrej.Bauer@andrej.com}
\thanks{Avtor se zahvaljuje Republiki Sloveniji za vsakdanji kruh.}

\author{Batman}
\address{Batman\\
Batman cave\\
Under Wayne Manor\\
Gotham City\\
USA}
\email{batman@gotham.com}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
  V članku predstavimo, kako v {\LaTeX}u z uporabo paketov AMS stavimo matematiko.
\end{abstract}

\section{Osnovna matematika}

% Matematični izrazi v vrstičnem načinu se pišejo med znaka \(...\) ali $...$.
% Pravila za pisanje izrazov v vrstičnem načinu:
% 1. Stavka ne začnemo z izrazom.
% 2. Vsak matematični izraz mora biti v matematičnem načinu, če tudi je samo en znak.
% 3. Celoten izraz mora biti v enem \(...\) ali $...$.
Pravilno: za vsak realen pozitiven $x$ obstaja $k \in \mathbb{N}$, da je $0 < 1/k < x$.

Narobe: za vsak realen pozitiven x obstaja $k \in \mathbb{N}$, da je $0$ < $1/k$ < $x$.

% Matematični izrazi v prikaznem načinu se pišejo med znaka \[...\] ali $$...$$,
% še raje pa uporabimo kakšno od okolij AMS, glej spodaj.
% Pravila za pisanje izrazov v prikaznem načinu:
% 1. Ne delamo praznih vrstic pred in za izrazom, razen se s formulo konča stavek.
% 2. Izraz mora biti del stavka, ne sme stati kar prepuščen sam sebi.
% 3. Če se z izrazom konča stavek ali odvisni stavek, zapišemo tudi ločilo.

Pravilno: za nenegativna števila $x_1, \ldots, x_n$ velja
%
\[
  \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \leq
  \sqrt{\frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{n}},
\]
%
kjer enakost velja natanko tedaj, ko $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$.

Narobe: za nenegativna števila $x_1$, \dots, $x_n$ velja
\[
  \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \leq
  \sqrt{\frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{n}}
\]
kjer enakost velja natanko tedaj, ko $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$.

Za spiske raznih operatorjev in simbolov, ki jih lahko stavimo, glejte dokumentacijo na
spletu.

Če želimo vstaviti v formulo besedilo, to naredimo s \verb|\text{...}|:
%
\begin{equation*}
  \mathcal{P} = \{ n \in \mathbb{N} \mid \text{$n$ je praštevilo} \}.
\end{equation*}
%
Omenimo še okolje \texttt{cases}, s katerim obravnavamo primere:
%
\[
  f(x) =
  \begin{cases}
    -1 & \text{če $x < 1$,} \\
     x & \text{če $-1 \leq x \leq 1$,} \\
     1 & \text{če $1 < x$.}
  \end{cases}
\]
%


\section{Makroji}
\label{sec:makroji}

V {\LaTeX}u lahko definiramo svoje ukaze, ki jim pravimo tudi \emph{makroji}. Tu
predstavimo osnovno uporabo. Ukaz definiramo z
%
\begin{quote}
  \verb|\newcommand{\|\emph{imeUkaza}\verb|}[|\emph{n}\verb|]{|\dots\verb|}|
\end{quote}
%
pri čemer je \emph{n} število argumentov, ki jih sprejme ukaz. Na argumente se sklicujemo
z \verb|#1|, \verb|#2|, \dots, \verb|#|\emph{n}. Ukaz brez argumentov definiramo z
%
\begin{quote}
  \verb|\newcommand{\|\emph{imeUkaza}\verb|}{|\dots\verb|}|
\end{quote}
%

% Nekaj primerov makrojev

% Makro lahko uporabljamo kot okrajšavo
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} % realna števila, \mathbb{..} je iz amssymb
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}} % naravna števila

Ali je res, da za vsak $n \in \NN$ in $a \in \RR$ obstaja natanko en $b \in \RR$, da je $b^n = a$?

% Ukaz \par že obstaja, zato ne moremo definirati makroja \par
\newcommand{\pair}[1]{\langle #1 \rangle}

Ali se urejeni pari pišejo $(x, y)$ ali $\pair{x, y}$? Kdo bi vedel. Je pa tako, da se
splača uporabiti makro, ker lahko kasneje še spreminjamo njegovo definicijo.

\newcommand{\zap}[2]{#1_1, \ldots, #1_{#2}}

Ne počnimo neumnosti z makoroji: če seštejemo zaporedji $\zap{a}{n}$ in $\zap{b}{n}$,
dobimo zaporedje $\zap{a + b}{n}$.

% Pozor, indekse je treba pisati v {...}, sicer se zgodijo čudne stvari.
% V definiciji \zap pobrišite {...} okoli #2 in poskusite:
Kaj pa dobimo, če napišemo $\zap{x}{n + m}$?

\section{Oklepaji}
\label{sec:oklepaji}

Poznamo več vrst oklepajev: $($ in $)$, $[$ in $]$, $\{$ in $\}$, $\langle$ in $\rangle$.

Še posebej opozorimo na $\langle$ in $\rangle$. Prav se piše $\langle x, y\rangle$ in ne
$<x, y>$, ker {\LaTeX} obravnava simbola \texttt{<} in \texttt{>} kot relaciji `večje' in
`manjše'.

Včasih so oklepaji premahjni, denimo
%
\[
  (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}.
\]
%
V takih primerih pred uklepaj napišemo \verb|\left| in pred zaklepaj \verb|\right|:
%
\[
  \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.
\]
%
Velikost oklepajev lahko nadzorujemo tudi ročno z ukazi \verb|\big|, \verb|\Big|,
\verb|\bigg|, \verb|\Bigg|:
%
\[
  \Bigg( \bigg( \Big( \big( ( ) \big) \Big) \bigg) \Bigg)
\]


\section{Poravnane in večvrstične enačbe}
\label{sec:enacbe}

Paket \texttt{amsmath} vsebuje okolja za prikaz raznih enačb. Če uporabimo okolje brez
zvezdice, na primer \texttt{equation}, dobimo oštevilčeno enačbo, okolje z zvezdico, na
primer \texttt{equation*}, pa nam da neoštevilčeno enačbo. Vedno oštevilčimo samo tiste
enačbe, na katere se tudi sklicujemo.

\subsection{Okolje \texttt{equation}}

Običajne enačbe naredimo z okoljem \texttt{equation},
%
\begin{equation*}
  x^2 + y^2 = 1
\end{equation*}
%
ali
%
\begin{equation}
  \label{eq:1}
  x^2 + y^2 = 1
\end{equation}

\subsection{Okolje \texttt{gather}}

Z okoljem \texttt{gather} stavimo izraze enega pod drugega:
%
\begin{gather*}
  \log 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots, \\
  \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \leq \sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}, \\
  \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.
\end{gather*}
%
Narobe je
%
\[
  \log 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots
\]
%
\[
  \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \leq \sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}
\]
%
\[
  \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.
\]


\subsection{Okolje \texttt{multline}}

Z okoljem \texttt{multtline} zapišemo daljšo izpeljavo čez več vrstic. Prva vrstica je
poravnana levo, zadnja desno in vsem vmesne sredinsko:
%
\begin{multline*}
  \sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2
  - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 = \\
  \frac{1}{2} \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2
  +
  \frac{1}{2} \cdot \sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2
  -
  \sum_{i=1}^n x_i y_i \cdot \sum_{j=1}^n x_j y_j = \\
  \frac{1}{2} \cdot \sum_{i,j=1}^2 x_i^2 y_j^2
  +
  \frac{1}{2} \cdot \sum_{i,j=1}^n x_j^2 y_i^2
  -
  \sum_{i,j=1}^n x_i y_j x_j y_i = \\
  \sum_{i,j=1}^n \frac{1}{2}\,
  \left(
    x_i^2 y_j^2 + x_j^2 x_i^2 - 2 x_i y_j x_j y_i
  \right)
  =
  \sum_{i,j=1}^n \frac{1}{2}\,
  \left(
    x_i y_j - x_j y_i
  \right)^2
  \geq 0.
\end{multline*}


\subsection{Okolje \texttt{align}}

Z okoljem \texttt{align} lahko poravnamo vrstice na določen znaku. Mesto, kjer morajo biti
vrstice poravnane, označimo z znakom \texttt{\&}, prehod v novo vrsto označimo z \verb|\\|:
%
\begin{align*}
  (x + y)^2 - (x - y)^2
  &= (x^2 + 2 x y + y^2) - (x^2 - 2 x y + y^2) \\
  &= x^2 + 2 x y + y^2 - x^2 + 2 x y - y^2 \\
  &= 2 x y + 2 x y \\
  &= 4 x y.
\end{align*}
%
Pozor: začetniki ga pogosto napačno postavijo tudi v zadnjo vrsto in potem dobijo dodatno
prazno vrsto:
%
\begin{align*}
  (x + y)^2 - (x - y)^2
  &= (x^2 + 2 x y + y^2) - (x^2 - 2 x y + y^2) \\
  &= x^2 + 2 x y + y^2 - x^2 + 2 x y - y^2 \\
  &= 2 x y + 2 x y \\
  &= 4 x y. \\
\end{align*}
%
Ali vidite, da je nekaj narobe? Z ukazom \verb|\intertext| vstavimo vrstico besedila v
izpeljavo, ne da bi pokvarili poravnavno:
%
\begin{align*}
  (x + y)^2 - (x - y)^2
  &= (x^2 + 2 x y + y^2) - (x^2 - 2 x y + y^2) \\
\intertext{in zato}
  &= x^2 + 2 x y + y^2 - x^2 + 2 x y - y^2 \\
  &= 2 x y + 2 x y \\
  &= 4 x y.
\end{align*}
%
Narobe je
%
\begin{align*}
  (x + y)^2 - (x - y)^2
  &= (x^2 + 2 x y + y^2) - (x^2 - 2 x y + y^2)
\end{align*}
%
in zato
%
\begin{align*}
  &= x^2 + 2 x y + y^2 - x^2 + 2 x y - y^2 \\
  &= 2 x y + 2 x y \\
  &= 4 x y,
\end{align*}
%
saj smo izgubili poravnavo med obema deloma izpeljave.

Z okoljem \texttt{align} lahko poravnamo več stolpcev, ki jih ločimo z znakom \texttt{\&}:
%
\begin{align*}
  3 + 5 &= 8
  &
  2 + 2 &= 4
  &
  1 + 1 &= 2
  \\
  3 + 7 &= 10
  &
  4 + 1 &= 5
  &
  2 + 3 &= 5
\end{align*}

\subsection{Matrike}

Matriko naredimo z okoljem \texttt{matrix}:\footnote{Tu imamo izjemo, ko je pisanje ločila
  na koneč izraza nesmiselno.}
%
\begin{equation*}
  \left[
  \begin{matrix}
    x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\
    x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\
    \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
    x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,n}
  \end{matrix}
  \right]
\end{equation*}
%
Oklepaje postavimo okoli matrike z \verb|\left| in \verb|\right|, da so pravilne
velikosti.

\section{Izreki in dokazi}
\label{sec:izreki-dokazi}

\begin{izrek}
  \label{izrek:max-zvezna}
  Vsaka zvezna funkcija na zaprtem intervalu doseže maksimum.
\end{izrek}

\begin{proof}
  Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Suspendisse aliquet arcu sit
  amet augue consequat efficitur. Nam non diam congue, porttitor nisl nec, faucibus ex.
  Fusce arcu ligula, molestie sit amet ligula sed, finibus sagittis felis. Nulla facilisi.
  Suspendisse potenti
  %
  \[
    f(x) = \int_0^x f'(t) \, d t,
  \]
  %
  donec ultrices malesuada bibendum. Quisque ac rutrum orci. Aliquam
  laoreet euismod nulla fermentum fringilla. Fusce bibendum dui enim, sed luctus diam
  lacinia sit amet. Fusce suscipit sodales vulputate. Suspendisse euismod ante est, ut
  fermentum mi consequat vitae. Sed vehicula, odio quis aliquam tincidunt, massa dolor
  tristique ligula, tempus egestas libero sem ac leo.
\end{proof}

\begin{posledica}
  Parbola ima maksimum na zaprtem intervalu.
\end{posledica}

% Tu oprabimo \qedhere, da se znak kar v formlo.
\begin{proof}
  To sledi iz računa
  %
  \begin{align*}
    (x + y)^2 - (x - y)^2
    &= (x^2 + 2 x y + y^2) - (x^2 - 2 x y + y^2) \\
    &= x^2 + 2 x y + y^2 - x^2 + 2 x y - y^2 \\
    &= 2 x y + 2 x y \\
    &= 4 x y. \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

% V definiciji moramo vedno poudariti pojem, ki ga definiramo. To naredimo z \emph{...}.
\begin{definicija}
  \emph{Praštevilo} je tako naravno število $n$, večje od $1$, ki ni deljivo z nobenim
  naravnih šetvilom.
\end{definicija}

\begin{vaja}
  Na pamet izračunajte $23 \times 117$.
\end{vaja}

\section{Diagrami}
\label{sec:diagrami}

O diagramih ne bomo povedali več kot to, da uporabimo paket \texttt{xypic}. Primer diagrama:
%
\begin{equation*}
  \xymatrix{
    {A}
    \ar[r]^{f}
    \ar[d]_{g}
    &
    {B}
    \ar[d]
    \\
    {C}
    \ar[r]_{h}
    \ar@{.>>}[ru]
    &
    {D}
    \ar@/_1em/[u]
  }
\end{equation*}

\section{Citati in reference}
\label{sec:citati}

Z ukazom \verb|label{|\emph{oznaka}\verb|}| naredimo oznako razdelka, izreka ali enačbe. Na tako oznako se lahko sklicujemo z ukazi \verb|ref|, \verb|pageref| in \verb|eqref|.

V razdelku~\ref{sec:makroji} na strani \pageref{sec:makroji} smo spoznali makroje.
Izrek~\ref{izrek:max-zvezna} ni preveč zanimiv, a ga profesorji radi sprašujejo na
magistrskem izpitu, enačba~\eqref{eq:1} pa sploh nepomembna.


\end{document}
